INTEGRALES

¿QUÉ SON LAS INTEGRALES?

Integrar es el proceso recíproco del de derivar, es decir, dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

Se dice, entonces, que F(x) es una primitiva o antiderivada de f(x); dicho de otro modo las primitivas de f(x) son las funciones derivables F(x) tales que:

F'(x) = f(x).

Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

[F(x) + C]' = F'(x) + 0 = F'(x) = f(x)

REGLAS BÁSICAS DE LA INTEGRACIÓN

TIPOS DE INTEGRALES

INTEGRAL DEFINIDA

• https://www.youtube.com/watch?v=wuI5MFhvgsY

INTEGRAL INDEFINDA

Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.

Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.

Propiedades de la integral indefinida

1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones.

∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx

2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

Integrales Potenciales

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Integral de cero

Integral de una potencia

Integrales trigonométricas:

Ejercicios:

• https://www.youtube.com/watch?v=FUZzUalCxlo
• https://www.youtube.com/watch?v=a8BIxz5t7DM
• https://www.youtube.com/watch?v=aV3RC0Eh-SQ

DERIVACIÓN IMPLICITA

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

ENLACE DE LA DERIVACIÓN:

• https://www.youtube.com/watch?v=C90dSI-j5E8

EJEMPLOS DE LA DERIVACIÓN:

• https://www.youtube.com/watch?v=oneC1gsSQaM

REGLA DE LA CADENA

REGLA DE LA CADENA

La regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

Descripción algebraica

En términos algebraicos, la regla de la cadena (para funciones de una variable) afirma que si ${\displaystyle f\,}$ es diferenciable en ${\displaystyle x\,}$ y ${\displaystyle g\,}$ es una función diferenciable en ${\displaystyle f(x)\,}$, entonces la función compuesta 

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$ es diferenciable en ${\displaystyle x\,}$ y

${\displaystyle (g\circ f)'(x)={\frac {d(g\circ f)}{dx}}={\frac {d\;g(f(x))}{dx}}={\frac {d}{dx}}\;g(f(x))=g'(f(x))\cdot f'(x)}$

Ejemplo

• https://www.youtube.com/watch?v=BUXAxTrxFmg
• 
  
• https://www.youtube.com/watch?v=ix7ZrH1yuko

Regla de la cadena para las funciones exponenciales

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), por la regla de la cadena se tiene que para una función f(x) = a^u y para otra g(x) = e^u,

                                   f'(x) = (a^u )' = u' · a^u · ln a

                                         g'(x) = (e^u )' = u' · e^u

REGLA DE LA CADENA PARA LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ejemplos:

• Calcular la derivada de f(x) = sen(sen x)

Resolución:

· Si u = sen x, u' = cos x

f'(x) = (sen(sen x))' = u' · cos u = cos x · cos(sen x)

•  Hallar la derivada de g(x) = sec (x² - 1)

Resolución:

· u = x² - 1; u' = 2x

· g'(x) = (sec(x² - 1))' = u' · sec u · tg u = 2x · sec(x² - 1) · tg(x² - 1)

¿CUÁNDO SE USA LA REGLA DE LA CADENA?

• https://www.youtube.com/watch?v=eHLZyRxhVF0