Límite finito
Intervalo cerrado
Un segmento en el eje numérico
con extremos a y b, con a < b, se denomina intervalo. Si los puntos
extremos, a y b, están incluidos en el intervalo, se dice que el intervalo es
cerrado, y se denota por [a,b].
[a,b] = { x perteneciente a R / a <= x <= b }
El
intervalo cerrado [a,b] consiste de los puntos x para los cuales a <= x
<= b.
limx->a f(x)=b <=> para todo Eb,ε existe un E*a,δ / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece a Eb,ε.
Intervalo abierto
Si los puntos extremos se
excluyen, el intervalo se llama abierto, y se denota por (a,b).
(a,b) = { x perteneciente a R / a < x < b }
(a,b) = { x perteneciente a R / a < x < b }
El intervalo abierto (a,b) consiste de aquellos puntos x para los cuales a < x < b .
Entorno del punto a de radio δ
Es el intervalo abierto (a - δ,a
+ δ), esto es, consiste de los valores x para los cuales a - δ < x <
a + δ.
Ea,δ = { x perteneciente a R / |x - a| < δ }
Ea,δ = { x perteneciente a R / |x - a| < δ }
Son los puntos x cuya distancia al punto a es menor que δ.
Entorno reducido de a de radio δDefinición
No incluye al punto a.
E*a,δ = { x perteneciente a R / 0 < |x - a| < δ }
E*a,δ = { x perteneciente a R / 0 < |x - a| < δ }
Son
los puntos x cuya distancia al punto a es menor que δ pero mayor que 0, es
decir, no se incluye a a.
Límite finito de una función
limx->a f(x)=b <=>
para todo ε>0 existe δ>0 / para todo x, 0 < |x-a| < δ |f(x)
- b| < ε.
Otra notación:
limx->a f(x)=b <=> para todo Eb,ε existe un E*a,δ / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) pertenece a Eb,ε.
Se dice que la función f(x) tiene
límite b, cuando x tiende a a, si dado ε positivo arbitrario y tan pequeño como
se quiera, existe un δ tal que para todo x perteneciente al entorno reducido de
a de radio δ, la función pertenece al entorno de b de radio ε.
Dicho de otro modo, para
cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un δ tal
que para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que
f(x) está dentro del entorno de b de radio ε.
limx->af(x)=b significa que
por más pequeño que sea el entorno considerado alrededor de b, va a ser posible
encontrar un entorno de a, para cuyos valores x (x ≠ a), la función f da
como resultado valores que están dentro del entorno de b considerado.
En otras palabras, la función
f(x) tiene límite b, cuando x tiende a a, si el valor de la función f(x) se
hace arbitrariamente próximo al valor b cuando x se aproxima al valor a.
Notar que la definición dice
entorno reducido de a. Es decir que f(a) puede no existir, o puede estar fuera
del entorno de b, pero el límite de f cuando x tiende a a sigue siendo b.
Límite infinito
Límites Usando Gráficas
Observemos la función f(x)=1/x2 para
valores de x positivos muy grandes.
Si tomamos x cada vez mayor, f(x)
está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir
que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando
x tiende a infinito.
Caso 1:
limx->af(x) = +inf <=> para
todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente
al E*a,δ f(x) > A.
El límite de f(x) cuando x->a
es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se
quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del
entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A.
En otras palabras, si para
cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a
donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier
número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el
límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf.
Caso 2:
limx->af(x) = -inf <=>
para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x
perteneciente al E*a,δ f(x) < -A.
Caso 3:
limx->+inff(x) = +inf
<=> para todo A > 0 existe B > 0 / para todo x
> B f(x) > A.
Para cualquier número positivo A
(por grande que sea), es posible encontrar un número positivo B tal que para
todos los x mayores que B, f(x) es mayor que A. Es decir que f(x) puede ser
mayor que cualquier número, si x es lo suficientemente grande.
Ejemplos de límites Infinitos
Límites Usando Gráficas
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